Homomorphieäquivalenz und Max-Flow Min-Cut

Homomorphismen zwischen Matroiden sind Abbildungen mit der Eigenschaft, daß Urbilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind. Wir studierten die Existenz solcher Homomorphismen, bei denen ein Element festgehalten wir. Zwei Matroide M und M' heißen homomorphieäquivalent, wenn es sowohl einen solchen Homomorphismus von M nach M' als auch zurück gibt. Wir stellten fest:

Ein Matroid M ist homomorphiäquivalent zu einem Kreis genau dann, wenn für M die Max-Flow Min-Cut Dualität gilt.

Beschränkt man sich nun auf die Klasse binärer Matroide mit Max-Flow Min-Cut Dualität im Dualen, so gilt für jedes solche Matroid M und jedes $k \in \mathbb{N} :$

Entweder es gibt einen Homomorphismus vom Kreis der Länge k nach M oder es gibt einen Homomorphismus von M in den Kreis der Länge k+1.

In allgemeinen Matroiden ist dies nur für k=1 richtig. Als Spezialfall enthält diese Aussage den Mengerschen Satz:

Ist G=(V,E) ein Graph und $s,t \in V$, so gilt: Entweder es gibt k+1 paarweise kantendisjunkte st-Wege oder es gibt einen st-Schnitt mit höchstens k Kanten.