Im modernen Bankbereich und der Firmenwelt geben die
immer komplizierter werdenden Produkte auf dem Markt der Derivate
einen starken Anreiz für neue mathematische Modelle und Algorithmen.
In der Computational Finance werden Probleme und Modelle
aus dem Blickwinkel des Mathematikers/Informatikers
untersucht, wobei die diskrete Modellierung und
algorithmische Fragen zur Lösung der Probleme
im Vordergrund stehen.
In Zusammenarbeit mit Ming Yang Kao (Department of Computer
Science, Yale University) studieren wir das Problem,
eine optimale Investment Strategie für
Investoren mit unterschiedlichen Einschätzungen des Marktes zu finden.
Die Einzelverteilungsfunktionen der Erträge der Aktien,
die von den Investoren
betrachtet werden, sind bekannt, während die gemeinsame Verteilung unbekannt
ist. Das Problem ist, die beste Investment Strategie zu finden, so
daß die Wahrscheinlichkeit, einen gewissen Prozentsatz des eingesetzten
Kapitals zu verlieren, minimiert und gleichzeitig der Einstellung
der Investoren
gegenüber zukünftigen Entwicklungen des Marktes Rechnung getragen wird.
Für besonders pessimistische oder besonders optimistische Investoren
läßt sich das Problem im zweidimensionalen Fall als Flußproblem
modellieren und erstaunlicherweise durch einen einfachen Greedy-Ansatz
lösen. Für höherdimensionale Fälle läßt sich das Problem nicht
mehr in polynomieller Zeit bearbeiten, jedoch kann man noch einen exakten
Algorithmus angeben, der polynomiell in der Anzahl der Einträge der
Matrix einer gemeinsamen Verteilung ist. Als Konsequenz entwickelten
wir einen Approximationsalgorithmus, der das Problem nur annähernd, jedoch in
polynomieller Zeit, löst.
Falls der Investor indifferent gegenüber der zukünftigen
Marktentwicklung ist, läßt sich das Problem im zweidimensionalen Fall
durch einen auf einem random walk basierenden Algorithmus lösen, es wird
allerdings auch hier für höhere Dimensionen NP-schwer.